Οι αρχές ενός πλήρους και καθαρού γεωμετρικού συστήματος δεν είναι τίποτε άλλο παρά ο ορισμός ή το υποθετικό αίτημα — διατυπωμένο σε μια σειρά χωριστών προτάσεων — της πολλαπλότητας που πρέπει να θεωρηθεί ως γεωμετρικός χώρος. Οι προτάσεις αυτές είναι δύο ειδών: υπαρξιακές προτάσεις και γενικές (νομολογικές) προτάσεις που αφορούν τα αντικείμενα του χώρου αυτού.
«Αιτούμαστε» (ή: «Ας θεωρήσουμε») μια πολλαπλότητα, την οποία ονομάζουμε «χώρο», και τα στοιχεία της «σημεία», με τις ακόλουθες ιδιότητες: Κάθε δύο σημεία της καθορίζουν μία «ευθεία γραμμή», «κάθε δύο ευθείες γραμμές τέμνονται σε ένα σημείο» κτλ. Το σύστημα των καθαρών συνεπειών (ή, σε σχέση με τον εξεταζόμενο χώρο, το σύνολο των διαδοχικών χαρακτηριστικών του) συνιστά το περιεχόμενο της γεωμετρίας.
Μέσα στον χώρο «υπάρχει» κάθε δομή της οποίας η ύπαρξη συνάγεται καθαρά από τις αρχές, δηλαδή από τον ορισμό ή την αξίωση του χώρου. Όλες οι προτάσεις της γεωμετρίας, τόσο οι υπαρξιακές όσο και οι νομολογικές, υπάγονται σε μία γενική προϋπόθεση, η οποία δεν εκφράζεται ποτέ επειδή θεωρείται αυτονόητη:
Δοθέντος ότι υπάρχει ένας χώρος, μια πολλαπλότητα ορισμένου και καθορισμένου τύπου (ακριβώς ορισμένου στις αρχές), τότε μέσα σε αυτήν υπάρχουν αυτές και εκείνες οι δομές, για τις οποίες ισχύουν αυτές και εκείνες οι προτάσεις, και ούτω καθεξής.
The principles of a complete and pure geometric system are nothing but
the definition or hypothetical postulation - laid out in a series 5 of
separate assertions - of the manifold which must be regarded as
geometrical space. These assertions are of two types: existential
assertions and general (nomological) assertions concerning the objects
thereof. "We /postulate" /(or: /"Let us consider") /a manifold, which we
call "space," and its elements the "points," with the fol-
lowing properties: Any two of its points determine a "straight line,"
"any two straight lines intersect at /one /point," etc. The system of
pure consequences (or, in relation to the space considered, the totality
of [328] its sequential characteristics) constitutes the content of the
geometry. In the space there "exists" each structure whose existence is
a pure
inference from the principles, thus from the space definition or
postulation. All propositions of the geometry, the existential as well
as the nomological, stand under a /general assumption, /never expressed
because self-evident: - /Granted /that /there is /a space, a manifold of
such-and-such a determinate type (exactly defined in the principles),
then in it there exist these and those structures, for which these
and those propositions hold true, and so forth.
[Edmund Husserl, Early writings in the philosophy of logic and mathematics: 368]
